Question

【題目】己知：f（x）＝（2－x）＋a（x－1）2 （a∈R）

（1）討論函數f（x）的單調區間：

（2）若對任意的x∈R，都有f（x）≤2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)當時，函數在上遞增，在上遞減；當時，函數在

，上遞減，在上遞增；當時，函數在，上遞減在上遞增；當時，函數在R上遞減;（2）孤立a,

【解析】試題分析：（1）求出導函數f’（x）＝，分類討論得到函數f（x）的單調區間；（2）對任意的x∈R，都有f（x）≤2等價于a（x－1）2≤對任意的x∈R恒成立，當時，，記，求出的最小值即可.

試題解析：

（1）由f（x）＝（2－x）＋a（x－1）2，得：f’（x）＝,

當時，，函數在上遞增，在上遞減；

當時，函數在，上遞減，在上遞增；

當時，函數在，上遞減在上遞增；

當時，函數在R上遞減;

（2）（2－x）＋a（x－1）2≤2對任意的x∈R恒成立，

等價于a（x－1）2≤對任意的x∈R恒成立.

當時，

當時，，記

,∴在上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

的最小值在，取到，經比較最小值為：

故.