Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點為，點分別是橢圓的上、下頂點，點是直線上的一個動點（與軸的交點除外），直線交橢圓于另一個點.

（1）當直線經過橢圓的右焦點時，求的面積；

（2）①記直線的斜率分別為，求證：為定值；

②求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②

【解析】

試題（1）先聯立直線的方程為與橢圓方程的方程組，求出交點坐標，進而求出點到直線的距離公式求出上的高，運用三角形的面積公式求解；（2）先求出斜率的值，再計算其積進行推算；先運用直線與橢圓的位置關系計算出向量的的坐標形式，再運用向量的數量積公式進行推證：

解：（1）由題意，焦點，

當直線過橢圓的右焦點時，則直線的方程為，即，

聯立，解得或(舍），即.

連，則直線，即 ，

而，.

故.

（2）解:法一：①設，且，則直線的斜率為，

則直線的方程為，

聯立化簡得，

解得，

所以，，

所以為定值.

②由①知，，，

所以，

令

故，

因為在上單調遞增，

所以，即的取值范圍為.

解法二：①設點，則直線的方程為，

令，得.

所以，

所以(定值）.

②由①知，，，

所以，

.

令，則，

因為在上單調遞減,

所以，即的取值范圍為.