Question

（本題滿分14分）
拋物線D以雙曲線的焦點為焦點．
（1）求拋物線D的標準方程；
（2）過直線上的動點P作拋物線D的兩條切線，切點為A，B．求證：直線AB過定點Q，并求出Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，若直線PQ交拋物線D于M，N兩點，求證：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

Answer 1

（1）
（2）（1，1）
（3）證明見解析。

（1）由題意，
所以，拋物線D的標準方程為                                         …………3分
（2）設
由
拋物線D在點A處的切線方程為…………4分
而A點處的切線過點
即
同理，
可見，點A，B在直線上．
令
所以，直線AB過定點Q（1，1）                                                               …………6分
（3）設
直線PQ的方程為

由
得
由韋達定理，                     …………9分
而

…………12分
將代入方程（*）的左邊，得
（*）的左邊

=0．
因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．                                                    …………14分