Question

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn); 當(dāng)時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)在定義域上的單調(diào)性的方法，一是利用定義，二是利用導(dǎo)數(shù)，此題既有代數(shù)函數(shù)又有對(duì)數(shù)函數(shù)，顯然利用導(dǎo)數(shù)判斷，只需對(duì)求導(dǎo)，判斷的符號(hào)即可；（Ⅱ）求的極值，只需對(duì)求導(dǎo)即可，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值一般分為四個(gè)步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求出；③令，列表；④確定函數(shù)的極值．此題由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，只需討論的情況，解的根，討論在范圍內(nèi)根的個(gè)數(shù)，從而確定的取值范圍及的極值點(diǎn)，值得注意的是，求出的根時(shí)，忽略討論根是否在定義域內(nèi)，而出錯(cuò)．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700295089593221/SYS201312170033366473435995_DA.files/image002.png">，　 ∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，②時(shí)，有兩個(gè)相同的解，但當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，時(shí)，，而,此時(shí) ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：當(dāng)時(shí)，有惟一極小值點(diǎn) 

ii)   當(dāng)時(shí)，0<<1，此時(shí)，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值，和一個(gè)極小值點(diǎn)； 綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn); 當(dāng)時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，考查學(xué)生的基本推理能力及運(yùn)算能力．