Question

（本小題滿分14分）20. （14分）設函數，其中為常數．

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）若函數的有極值點，求的取值范圍及的極值點；

（3）求證對任意不小于3的正整數，不等式都成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數在定義域上單調遞增；

（2）當且僅當時有極值點;    

當時，有惟一最小值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點。

（3）證明略

【解析】（1）由題意知，的定義域為，

      …… 1分

當時， ，函數在定義域上單調遞增．   …… 2分

（2）設，若函數的有極值點，則G(x)=0有解

 …………………3分

當時，有兩個不同解， 

時，，

,

此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時，有惟一極小值點，

ii)   當時，0<<1  此時，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

有極大值和極小值點；

綜上所述：

當且僅當時有極值點;    

當時，有惟一最小值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點

（3）由(2)可知當時，函數，

此時有惟一極小值點

               

 令函數