Question

【題目】四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E為BB1延長線上的一點,D1E⊥平面D1AC.

(1)求二面角E-AC-D1的大小;

(2)在D1E上是否存在一點P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設AC與BD交于O,以O為原點，建立空間直角坐標系，設AB=2，用坐標分別表示有關向量，分別求平面EAC和平面D1AC的法向量，利用數量積公式，可求二面角的平面角或期補角。

（2）設在D1E上存在一點P,使A1P∥平面EAC，則有=λ=λ()，，而，結合（1），有與平面EAC的法向量垂直，建立方程，可求λ，問題得解。

(1)設AC與BD交于O,如圖所示建立空間直角坐標系Oxyz,設AB=2,

則A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),

設E(0,1,2+h),則=(0,2,h),=(2,0,0),=(,1,-2),

∵D1E⊥平面D1AC,∴D1E⊥AC,D1E⊥D1A.

∴2-2h=0,∴h=1,即E(0,1,3).

∴=(0,2,1),=(-,1,3).

設平面EAC的法向量為m=(x,y,z),

則由令z=-1,

∴平面EAC的一個法向量為m=(0,3,-1).

又平面D1AC的法向量為=(0,2,1),

∴cos<m,>=,

∴二面角E-AC-D1的大小為45°.

(2)設=λ=λ(),

得,

∴=(-,-1,0)+.

∵A1P∥面EAC,∴⊥m.

∴-×0+3×+(-1)×=0,

∴λ=.

∴存在點P使A1P∥平面EAC,此時D1P∶PE=3∶2.