Question

（2013•惠州模擬）如圖，A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））的兩個(gè)頂點(diǎn)．|AB|=

5

，直線AB的斜率為-

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l平行于AB，與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，與橢圓相交于C，D．證明：△OCM的面積等于△0DN的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用|AB|=

5

，直線AB的斜率為-

1

2

，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及三角形的面積公式，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：依題意，得

b a = 1 2 a2+b2 = 5

                             …（2分）
解得a=2，b=1．                                        …（3分）
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．                             …（4分）
（Ⅱ）證明：由于l∥AB，設(shè)直線l的方程為y=-

1

2

x+m，將其代入

x2

4

+y2=1，消去y，
整理得2x²-4mx+4m²-4=0．                                   …（6分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
所以x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2 …（8分）
記△OCM的面積是S₁，△ODN的面積是S₂．
由題意M（2m，0），N（0，m），
因?yàn)閤₁+x₂=2m，
所以|2y1|=|2×(-

1

2

x1+m)|=|-x₁+2m|=|x₂|，…（13分）
∵S1=

1

2

×|2m|×|y1|，S2=

1

2

×|m|×|x2|．    
∴S₁=S₂                                         …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．