Question

在直角坐標平面xOy內，已知向量

OA

=（1，5），

OB

=（7，1），

OM

=（1，2），P為滿足條件

OP

=t

OM

（t∈R）的動點．當

PA

•

PB

取得最小值時，求：（1）向量

OP

的坐標；（2）cos∠APB的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知

OM

與

OP

共線，由向量共線定理可得?λ∈[0，1]使得

OP

=

λOM

=(λ，2λ)，由向量數量積的坐標表示可得f（λ）=5λ²-20λ+12，λ∈[0，1]結合二次函數在區間[0，1]的單調性可求函數的最小值及P的坐標；
（2）代入向量夾角公式cos ∠APB=

PA • PB

| PA | |PB |

求值

解答：解：（1）由題意，可設

OP

=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，
則

PA

=(1-λ，5-2λ)，

PB

=(7-λ，1-2λ)
設 f(λ)=

PA

•

PB

，則f（λ）=（1-λ）（7-λ）+（5-2λ）（1-2λ）
=5λ²-20λ+12，λ∈[0，1]
又f（λ）在[0，1]上單調遞減
∴當λ=1時f（λ）取得最小值，此時P點坐標為（1，2）

OP

=(1，2)
（2）

PA

=(0，3)，

PB

=(6，-1)
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-3

3 37

=-

37

37

．

點評：本題考查平面向量共線定理，平面向量數量積的坐標表示，二次函數的單調性及最值的求解，向量夾角的坐標表示．熟練掌握向量的基礎知識并能靈活運用是解決問題的關鍵．