Question

在直角坐標平面xoy上 的一列點A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，簡記為{A_n}．若由bn=

AnAn+1

•

j

構成的數列{b_n}滿足b_n+1＞b_n（其中

j

是y軸正方向同向的單位向量），則稱{A_n}為T點列．
（1）判斷A1(1，1)，A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

3

)…，An(n，

1

n

)，…是否為T點列；
（2）若{a_n}是等差數列，判斷點列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否為T點列，并說明理由；
若{a_n}是等比數列，判斷點列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否為T點列，并說明理由；
（3）若{A_n}為T點列，且點A₂在點A₁的右上方，任取其中連續三點A_K，A_K+1，A_K+2，判斷△A_KA_K+1A_K+2的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據所給的n個點的坐標，求得b_n=

AnAn+1

•

j

=-

1

n(n+1)

，再驗證數列{b_n}是否滿足滿足b_n+1＞b_n，即可得到結論．
（2）設等差數列的公差為d，根據A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），求得b_n=

AnAn+1

•

j

=d即可判斷；設等比數列的公比為q，根據A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），可得b_n=

AnAn+1

•

j

=a_n+1-a_n，從而可得結論；
（3）用所給的三個點構造三個向量，寫出三個向量的坐標，問題轉化為向量夾角的大小問題，判斷出兩個向量的數量積小于零，得到兩個向量所成的角是鈍角，得到結果．

解答：解：（1）∵A_n（n，

1

n

），A_n+1（n+1，

1

n+1

），
∴

AnAn+1

=（1，-

1

n(n+1)

），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=-

1

n(n+1)

，
∴b_n+1=-

1

(n+1)(n+2)

，∴b_n+1-b_n=

2

n(n+1)(n+2)

∴b_n+1＞b_n，∴{A_n}是T點列；
（2）設等差數列的公差為d
∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n）=（1，d），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=d，∴{A_n}不是T點列；
設等比數列的公比為q，
∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=qb_n，
∴q＞1時，b_n+1＞b_n，∴{{A_n}是T點列；q≤1時，b_n+1≤b_n，∴{{A_n}不是T點列；
（3）在△A_KA_K+1A_K+2中，A_k+1A_k=（-1，a_k-a_k+1），A_k+1A_k+2=（1，a_k+2-a_k+1），
A_k+1A_k•A_k+1A_k+2=-1+（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）
∵點A₂在點A₁的右上方，∴b₁=a₂-a₁＞0，
∵{A_n}為T點列，
∴b_n≥b₁＞0，
∴（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）=-b_k+1b_k＜0，則 A_k+1A_k•A_k+1A_k+2＜0
∴∠A_KA_K+1A_K+2為鈍角，
∴△A_KA_K+1A_K+2為鈍角三角形．

點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意T點列的理解和合理地進行等價轉化．