Question

已知函數f(x)＝xlnx－x².
(1)當a＝1時，函數y＝f(x)有幾個極值點？
(2)是否存在實數a，使函數f(x)＝xlnx－x²有兩個極值？若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）0個極值點   （2）(0,1)

解：(1)當a＝1時，f(x)＝xlnx－x²，f′(x)＝lnx＋1－x.
由于極值點的導數值等于0，故要研究函數g(x)＝f′(x)＝lnx＋1－x的零點的情況．
g′(x)＝－1，
當x∈(0,1)時，g′(x)＝－1>0；
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＝－1<0.
∴g(x)＝lnx＋1－x在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減．
∴g(x)_max＝g(1)＝ln1＋1－1＝0，即f′(x)≤0.
故f′(x)＝lnx＋1－x只有一個零點x＝1，且在x＝1兩側都有f′(x)<0，故x＝1不是極值點．
∴函數y＝f(x)有0個極值點．
(2)f′(x)＝lnx＋1－ax，
函數f(x)＝xlnx－x²有兩個極值?方程f′(x)＝lnx＋1－ax＝0在(0，＋∞)上有兩個不等實根，且每一根兩側的導數f′(x)值異號?直線y＝a與曲線h(x)＝有兩個交點．
h′(x)＝，當x∈(0,1)時，h′(x)>0；
當x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，
∴h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減．
當x∈(1，＋∞)時，h(x)>0，且當x→＋∞時，h(x)→0.
∴當x＝1時，h(x)_max＝1，其圖象大致是：

由圖可知a的取值范圍是(0,1)．