Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， 為的中點， 為的中點，且為正三角形．

（）求證： 平面．

（）若， ，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

（1）要證平面，只需證明與平面內的兩條相交直線垂直，利用直線與平面垂直的判定定理證明即可；

（2）解法一：通過，利用等體積法，即可求解點到平面的距離；

解法二：過點作直線的垂線，角的延長線于點，證明平面，說明為點到平面的距離，一是利用等面積求解，二是利用解直角三角形求解．

試題解析：

（）

證明：在正中， 是的中點，

∴，

∵是的中點， 是的中點，

∴，故，

又， ，

， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

又， ，

， 平面，

∴平面．

（）解法：設點到平面的距離為，

∵， 是的中點，

∴，

∵為正三角形，

∴．

∵， ，

∴，

∴，

∵．

由（）知，

∴，

在中， ，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

故點到平面的距離為．