Question

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設點P的軌跡與y軸負半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為r.
(ⅰ)求圓M的方程；
(ⅱ)當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）＝1(x≠±4)（2）(ⅰ)＋(y－r－3)²＝r².(ⅱ)y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切

(1)設P(x，y)，則直線PA、PB的斜率分別為k₁＝、k₂＝.
由題意知·＝－，即＝1(x≠±4)．
所以動點P的軌跡方程是＝1(x≠±4)．
(2)(ⅰ)由題意C(0，－2)，A(－4，0)，
所以線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3.
設M(a，2a＋3)(a＞0)，則圓M的方程為(x－a)²＋(y－2a－3)²＝r².
圓心M到y軸的距離d＝a，由r²＝d²＋，得a＝.
所以圓M的方程為＋(y－r－3)²＝r².
(ⅱ)假設存在定直線l與動圓M均相切．當定直線的斜率不存在時，不合題意．
設直線l：y＝kx＋b，則＝r對任意r＞0恒成立．
由，得r²＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)²＝(1＋k²)r².
所以解得或
所以存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切