Question

(2013·上海高考)如圖,已知雙曲線C₁：-y²=1,曲線C₂：|y|=|x|+1.P是平面內(nèi)一點.若存在過點P的直線與C₁,C₂都有共同點,則稱P為“C₁-C₂型點”.

(1)在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證).
(2)設(shè)直線y=kx與C₂有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C₁-C₂型點”.
(3)求證：圓x²+y²=內(nèi)的點都不是“C₁-C₂型點”.

Answer 1

（1）x=-或y=k(x+),其中|k|≥.
（2）見解析     （3）見解析

(1)C₁的左焦點為(-,0),寫出的直線方程可以是以下形式：
x=-或y=k(x+),其中|k|≥.
(2)因為直線y=kx與C₂有公共點,
所以方程組有實數(shù)解,
因此|kx|=|x|+1,得|k|=>1.
若原點是“C₁-C₂型點”,則存在過原點的直線與C₁,C₂都有公共點.
考慮過原點與C₂有公共點的直線x=0或y=kx(|k|>1).顯然直線x=0與C₁無公共點.
如果直線為y=kx(|k|>1),
則由方程組得x²=<0,矛盾,
所以直線y=kx(|k|>1)與C₁也無公共點.
因此原點不是“C₁-C₂型點”.
(3)記圓O：x²+y²=,取圓O內(nèi)的一點Q,
設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C₁,C₂都有公共點,
顯然l不垂直于x軸,故可設(shè)l：y=kx+b.
若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間,
因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間,從而過Q且以k為斜率的直線l與C₂無公共點,矛盾,所以|k|>1.
因為l與C₁有公共點,所以方程組有實數(shù)解,得(1-2k²)x²-4kbx-2b²-2=0.
因為|k|>1,所以1-2k²≠0,
因此Δ=(4kb)²-4(1-2k²)(-2b²-2)=8(b²+1-2k²)≥0,即b²≥2k²-1.
因為圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=,
所以=d²<,從而>b²≥2k²-1,
得k²<1,與|k|>1矛盾.
因此,圓x²+y²=內(nèi)的點都不是“C₁-C₂型點”.