Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣alnx﹣1， ，其中a為實數． （Ⅰ）求函數g（x）的極值；
（Ⅱ）設a＜0，若對任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2）， 恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，令g'（x）=0，得x=1，列表如下：

x	（﹣∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	﹣
g（x）	↗	極大值	↘

∴當x=1時，g（x）取得極大值g（1）=1，無極小值；…（4分）
（Ⅱ）當m=1時，a＜0時，f（x）=x﹣alnx﹣1，x∈（0，+∞），
∵ 在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上為增函數，
設 ，∵ 在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上為增函數，
不妨設x2＞x1 ， 則 等價于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），
設 ，則u（x）在[3，4]上為減函數，
∴ 在[3，4]上恒成立，
∴ 恒成立，∴ ，x∈[3，4]，
設 ，∵ ，
∴ ，∴v'（x）＞0，v（x）為減函數，
∴v（x）在[3，4]上的最大值 ，∴ ，
∴a的最小值為
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）設 ，根據函數的單調性得到h（x）在[3，4]上為增函數，問題等價于f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1）設 ， 根據函數的單調性求出a的最小值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．