Question

2012年3月2日，國家環保部發布了新修訂的《環境空氣質量標準》.其中規定:居民區中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環保部門隨機抽取了一居民區去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監測數據，數據統計如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數（天）	頻率
第一組	(0,15]	4	0.1
第二組	(15,30]	12	0.3
第三組	(30,45]	8	0.2
第四組	(45,60]	8	0.2
第三組	(60,75]	4	0.1
第四組	(75,90)	4	0.1

（Ⅰ）寫出該樣本的眾數和中位數（不必寫出計算過程）；
（Ⅱ）求該樣本的平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境是否需要改進？說明理由；
（Ⅲ）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區PM2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的天數為，求的分布列及數學期望．

Answer 1

（1）眾數為22.5微克/立方米, 中位數為37.5微克/立方米．
（2）該居民區的環境需要改進．
（3）變量的分布列為

	0	1	2

（天）,或（天）。

解析試題分析：（1）眾數為22.5微克/立方米, 中位數為37.5微克/立方米．    4分
（2）去年該居民區PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）．
因為，所以去年該居民區PM2.5年平均濃度不符合環境空氣質量標準，
故該居民區的環境需要改進．                      8分
（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準”，
則.    隨機變量的可能取值為0,1,2.且.
所以，  所以變量的分布列為

	0	1	2

（天）,或（天）   12分
考點：本題主要考查頻率分布表，眾數、中位數的概念及計算，隨機變量的分布列與期望。
點評：典型題，統計中的抽樣方法，頻率直方圖，概率計算及分布列問題，是高考必考內容及題型。題中隨機變量服從，使分布列的確定思路明確。對計算能力要求較高。