Question

給出定義：若函數f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數．以下四個函數在(0，)上不是凸函數的是________．
①f(x)＝sim x＋cos x     ②f(x)＝ln x－2x
③f(x)＝x³＋2x－1       ④f(x)＝x·e^x

Answer 1

④

由凸函數的定義可得該題即判斷f(x)的二階導函數f″(x)的正負．對于A，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；對于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；對于C，f′(x)＝－3x²＋2，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；對于D，f′(x)＝e^x＋xe^x，f″(x)＝e^x＋e^x＋xe^x＝2e^x＋xe^x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0.