Question

如圖，森林的邊界是直線L，兔子和狼分別在L的垂線AC上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處（AB=BC=a），現(xiàn)兔子沿線AD（或AE）以速度2v準(zhǔn)備越過L向森林逃跑，同時狼沿線段BM（點(diǎn)M在AD上）或BN（點(diǎn)N在AE上）以速度v進(jìn)行追擊，若狼比兔子先到或同時到達(dá)點(diǎn)M（或N）處，狼就會吃掉兔子．求
（1）兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的地方）組成的區(qū)域的面積S；
（2）兔子要想不被狼吃掉，求銳角θ（θ=∠CAD=∠CAE）應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系xcy，利用條件：狼要吃掉兔子需先到達(dá)M點(diǎn)或與兔子同時到達(dá)M點(diǎn)，建立關(guān)系式，從而求出兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的地方）組成的區(qū)域的方程，進(jìn)而求出區(qū)域的面積S；
（2）兔子要想不被狼吃掉則不能沿∠GAF的方向跑，故可求出銳角θ（θ=∠CAD=∠CAE）應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xcy，并設(shè)M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到達(dá)M點(diǎn)或與兔子同時到達(dá)M點(diǎn)，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…4分
即2|BM|≤|AM|∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

兩邊平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…6分
所以，兔子的所有不幸點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A及其內(nèi)部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸點(diǎn)組成的區(qū)域的面積S為

4

9

πa2．…8分
（2）如圖，兔子要想不被狼吃掉則不能沿∠GAF的方向跑．
在Rt△APF中：sin∠PAF=

|PF|

|AP|

=

2 3 a

2a- 2 3 a

=

1

2

∴∠PAF=

π

6

∴θ∈(

π

6

，

π

2

)
所以銳角θ（θ=∠CAD=∠CAE）應(yīng)滿足的條件為θ∈(

π

6

，

π

2

)．…12分

點(diǎn)評：本題通過建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)坐標(biāo)，用方程表示曲線，利用方程解決問題，同時應(yīng)注意挖掘問題的本質(zhì)，將問題等價轉(zhuǎn)化．