Question

如圖，森林的邊界是直線L，兔子和狼分別在L的垂線AC上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處（AB=BC=a），現(xiàn)兔子沿線AD（或AE）以速度2v準(zhǔn)備越過L向森林逃跑，同時(shí)狼沿線段BM（點(diǎn)M在AD上）或BN（點(diǎn)N在AE上）以速度v進(jìn)行追擊，若狼比兔子先到或同時(shí)到達(dá)點(diǎn)M（或N）處，狼就會(huì)吃掉兔子．求兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的地方）組成的區(qū)域的面積S．

Answer 1

分析：由題意，建立下面直角坐標(biāo)系x0y，并設(shè)M（x，y），由于狼要吃掉兔子需先到達(dá)M點(diǎn)或與兔子同時(shí)到達(dá)M點(diǎn)，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

，由此不等式得出2|BM|≤|AM|，用兩點(diǎn)間距離公式將此不等式用坐標(biāo)表示出來，整理出方程，由此方程作出判斷，求出兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的地方）組成的區(qū)域的面積S．

解答：解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系x0y，并設(shè)M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到達(dá)M點(diǎn)或與兔子同時(shí)到達(dá)M點(diǎn)，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…（4分）
即2|BM|≤|AM|
∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

兩邊平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…（8分）
所以，兔子的所有不幸點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A及其內(nèi)部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸點(diǎn)組成的區(qū)域的面積S為

4

9

πa2．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查求軌跡方程，由于題設(shè)條件比較抽象，解答本題，關(guān)鍵是建立起合適的模型，表示出實(shí)際問題中的關(guān)系，再通過所建立的模型求解兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的地方）組成的區(qū)域的面積S，本題考查了以形助數(shù)能力及轉(zhuǎn)化化歸的能力，這是解應(yīng)用題時(shí)常用的策略．