Question

【題目】如圖，在等腰梯形中，，，，E，F分別為，邊的中點.現將沿著折疊到的位置，使得平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）在等腰梯形中，，，，E，F分別為、邊的中點，易證為等邊三角形，，根據平面平面

易證平面，再由平面，故平面平面.

（2）取的中點O，易證平面，再證明，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面的法向量和平面的法向量，再求這兩個法向量夾角余弦值的絕對值，結合觀察圖形，可求二面角的余弦值.

解：（1）證明：如圖，連接，

∵E為的中點，故且，

故四邊形為平行四邊形，，

所以為等邊三角形. 同理可證為等邊三角形，

所以為等邊三角形，

∵在等腰梯形中，，，

為等邊三角形，F為的中點，

故，即．

又∵平面平面，且平面平面，

故平面. 又∵平面，

故平面平面.

（2）取的中點O，連接，，

∵，∴.

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，為等邊三角形，故.

如圖，以O為坐標原點，為x軸，為y軸，

為z軸建立空間直角坐標系．

，，，

，.

設平面的法向量為

故解得．

設平面的法向量為，

則，

∵為銳二面角，

故二面角的余弦值為.