Question

如圖，A、C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時從A島出發，以10海里/小時的速度，沿北偏東75°方向直線航行，下午1時到達B處.然后以同樣的速度，沿北偏東15°方向直線航行，下午4時到達C島.

（Ⅰ）求A、C兩島之間的直線距離；
（Ⅱ）求∠BAC的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）70海里（Ⅱ）

本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在實際問題中的應用，解題的關鍵是要把實際問題轉化為數學問題，利用數學中的工具進行求解，試題的難度一般不大
（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考慮利用據余弦定理求AC
（2）在△ABC中，據正弦定理，得∠BAC的正弦值.
解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°………………………2分
據余弦定理，得，
所以AC＝70. ………………5分
故A、C兩島之間的直線距離是70海里.…………6分
（Ⅱ）在△ABC中，據正弦定理，得，………………8分
所以.……………11分
故∠BAC的正弦值是.…………………12分