Question

【題目】已知三角形的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設向量 ， ，若 ．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為 ，求AC邊的最小值，并指明此時三角形的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵ ，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴ ．

∵0＜B＜π，∴ ．

（2）解：由已知得： ，∴ac=4．

由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，當且僅當“a=c”時取等號．

∴AC的最小值為2，此時三角形為等邊三角形

【解析】（1）利用兩個向量共線的性質、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得 ，從而求得B的值．（2）由△ABC的面積為 ，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關知識才是答題的關鍵．