Question

【題目】已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析

【解析】試題分析：解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．因為，即，解得，即可求出拋物線的方程．（Ⅱ）因為點在拋物線 上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．由， 可得直線的方程為．由，得，從而． 所以， ，所以，從而，這表明點到直線， 的距離相等，即可證明結果．

解法二：（Ⅱ）同解法一可得，直線的方程為，

從而．又直線的方程為，所以點到直線的距離，即可證明結果．

試題解析：解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．

因為，即，解得，所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）因為點在拋物線 上，

所以，由拋物線的對稱性，不妨設．

由， 可得直線的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，

所以， ，

所以，從而，這表明點到直線， 的距離相等，

故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．

因為點在拋物線 上，

所以，由拋物線的對稱性，不妨設．

由， 可得直線的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，故直線的方程為，

從而．

又直線的方程為，

所以點到直線的距離．

這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．