Question

【題目】對于每項均是正整數的數列A：a1，a2，…，an，定義變換T1，T1將數列A變換成數列T1(A)：n，a1－1，a2－1，…，an－1.對于每項均是非負整數的數列B：b1，b2，…，bm，定義變換T2，T2將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T2(B)．又定義S(B)＝2(b1＋2b2＋…＋mbm)＋＋＋…＋.設A0是每項均為正整數的有窮數列，令Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2，…)．

(1)如果數列A0為2,6,4,8，寫出數列A1，A2；

(2)對于每項均是正整數的有窮數列A，證明：S(T1(A))＝S(A)；

(3)證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A0，存在正整數K，當k≥K時，S(Ak＋1)＝S(Ak)．

Answer 1

【答案】（1）A1：7,5,4,3,1；A2：6,5,4,3,2.（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由A0：2,6,4,8，求得T1(A0)，再通過求解。（2）設有窮數列A,求得T1(A)，再求得S(T1(A))，兩者作差比較。（3）設A是每項均為非負整數的數列a1，a2，…，，在存在1≤i＜j≤n，使得時，交換數列A的第i項與第j項得到數列B，,在存在1≤m＜n，使得am＋1＝am＋2＝an＝0條件下，若記數列a1，a2，…為C，

Ak＋1＝T2(T1(Ak)), S(Ak＋1)≤S(T1(Ak)),由S(T1(Ak))＝S(Ak)，得到S(Ak＋1)≤S(Ak)，S(Ak)是大于2的整數，所以經過有限步后，必有S(Ak)＝S(Ak＋1)＝S(Ak＋2)＝0.

試題解析： (1)　A0：2,6,4,8；T1(A0)：4,1,5,3,7，A1：7,5,4,3,1；T1(A1)：5,6,4,3,2,0，

∴A2：6,5,4,3,2.

(2)證明　設每項均是正整數的有窮數列A為a1，a2，…，

則T1(A)為n，a1－1，a2－1，…，－1，

從而S(T1(A))＝2[n＋2(a1－1)＋3(a2－1)＋…＋(n＋1)(－1)]＋n2＋(a1－1)2＋(a2－1)2＋…＋(－1)2.

又S(A)＝2(a1＋2a2＋…＋nan)＋＋＋…＋，

所以S(T1(A))－S(A)＝2[n－2－3－…－(n＋1)]＋2(a1＋a2＋…＋an)＋n2－2(a1＋a2＋…＋)

＋n＝－n(n＋1)＋n2＋n＝0，

故S(T1(A))＝S(A)．

(3)證明:設A是每項均為非負整數的數列a1，a2，…，

當存在1≤i＜j≤n，使得時，交換數列A的第i項與第j項得到數列B，

則S(B)－S(A)＝

當存在1≤m＜n，使得am＋1＝am＋2＝an＝0時，若記數列a1，a2，…為C，

則S(C)＝S(A)．

所以S(T2(A))≤S(A)．

從而對于任意給定的數列A0，由Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2)，

可知S(Ak＋1)≤S(T1(Ak))．

又由(2)可知S(T1(Ak))＝S(Ak)，

所以S(Ak＋1)≤S(Ak)．

即對于k∈N，要么有S(Ak＋1)＝S(Ak)，

要么有S(Ak＋1)≤S(Ak)－1.

因為S(Ak)是大于2的整數，所以經過有限步后，

必有S(Ak)＝S(Ak＋1)＝S(Ak＋2)＝0.

即存在正整數K，當k≥K時，S(Ak＋1)＝S(A)．