Question

如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S₂．
試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）不存在直線，使得 ．        12分

試題分析：（Ⅰ）依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為．
將其代入，
整理得 ．
設(shè)，，  所以 ．        4分
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
依題意，得，
解得 ．           6分
（Ⅱ）解：假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直．

由（Ⅰ）可得 ．
因?yàn)?，所以 ，
解得 ，      即 ．
因?yàn)?△∽△，
所以 ．
所以 ，
整理得 ．
因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 ．        12分
點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）利用弦長公式，確定得到三角形面積表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)對“存在性問題”的研究。