Question

設(shè)角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
（Ⅰ）若sin²+sin=，求角A的大小；
（Ⅱ）設(shè)f（A）=sinA+2sin，求當(dāng)A為何值時(shí)，f（A）取極大值，并求其極大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)sin²+sin=整理得cos（cos-1）=0進(jìn)而求得cos，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）對函數(shù)f（A）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)結(jié)果與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出函數(shù)的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，sin²+sin=，
即sin²+cos=，
所以（1-）+cos=，
即cos（cos-1）=0．
在△ABC中，因?yàn)?＜A＜π，則0＜＜，
所以cos≠0，從而cos=．
從而=，即A=．
（Ⅱ）因?yàn)閒′（A）=cosA+cos=2cos2+cos=（2cos-1）（cos+1），
因?yàn)?＜A＜π，則cos+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos＞，
所以0＜＜，即0＜A＜．
所以當(dāng)A∈（0，）時(shí)，f（A）為增函數(shù)；
當(dāng)A∈（，π）時(shí)，f（A）為減函數(shù)．
故當(dāng)A=時(shí)，f（A）取極大值，
且極大值為f（）=．
點(diǎn)評：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性．