Question

【題目】四邊形為某橢圓的內(nèi)接矩形的充要條件是：它的四個(gè)頂點(diǎn)是橢圓的同心圓與它的四個(gè)交點(diǎn).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

充分性：設(shè)、、、為橢圓與它的某個(gè)同心圓的交點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)軸. 因?yàn)?/span>過圓心，所以，是圓的對(duì)稱軸. 于是，整個(gè)圖形關(guān)于對(duì)稱成軸對(duì)稱. 故四邊形的一組對(duì)邊與垂直. 同理可證，四邊形的另一組對(duì)邊與橢圓的短軸垂直. 因此，四邊形是矩形.

必要性：設(shè)四邊形是橢圓的內(nèi)接矩形. 先證明四邊形的邊與橢圓的對(duì)稱軸平行.

實(shí)際上，作矩形的對(duì)稱軸交橢圓于點(diǎn)、. 將橢圓沿翻轉(zhuǎn)得到橢圓，則與有6個(gè)不同的交點(diǎn)、、、、、. 所以，與重合，即是橢圓的對(duì)稱軸. 因?yàn)榫匦?/span>的一組對(duì)邊與平行，所以，四邊形的一組對(duì)邊與橢圓的對(duì)稱軸平行. 不妨設(shè)與橢圓的長(zhǎng)軸平行. 由于橢圓關(guān)于其短軸對(duì)稱，所以，. 由充分性的證明可知，以為半徑的橢圓的同心圓與橢圓交成一個(gè)矩形，此矩形以為一條邊. 但過點(diǎn)且與垂直的直線是唯一的，從而，以為一邊的橢圓的內(nèi)接矩形也是唯一的.

故、、、是橢圓的同心圓與橢圓的交點(diǎn).