Question

已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正實數），且函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）對于函數F（x）及其定義域D，若存在x₀∈D，使F（x₀）=x₀成立，則稱x₀為F（x）的不動點．若f（x）+g（x）+b在其定義域內存在不動點，求實數b的取值范圍；
（3）若n為正整數，證明：10f(n)•(

4

5

)g(n)＜4．
（參考數據：lg3=0.3010，(

4

5

)9=0.1342，(

4

5

)16=0.0281，(

4

5

)25=0.0038）

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，結合函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數），我們可以構造關于a的方程，解方程可以求出a的值；
（2）確定函數解析式，利用不動點的定義，可得實數b的取值范圍；
（3）由于n為正整數，因此當1≤n≤3時，G（n）單調遞增；當n≥4時，G（n）單調遞減，可得G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}，從而不等式得到證明．

解答：（1）解：∵函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1．                      …（2分）
（2）解：由（1）知，f(x)+g(x)+b=

x2+3x+bx≥1 x2+x+2+bx＜1

．
當x≥1時，若f（x）+g（x）+b存在不動點，則有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此時b≤-3．       …（4分）
當x＜1時，若f（x）+g（x）+b存在不動點，則有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2…（5分）
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此時b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定義域內存在不動點，則實數b的取值范圍應為（-∞，-2]．  …（7分）
（3）證明：設G(n)=10f(n )•(

4

5

)g( n )．
因為n為正整數，
∴G(n)=10n-1•(

4

5

) n2+2n+1＞0．                    …（8分）
∴

G(n+1)

G(n)

=

10n•( 4 5 ) (n+1)2+2(n+1)+1

10n-1•( 4 5 ) n2+2n+1

=10×(

4

5

) 2n+3．     …（9分）
當

G(n+1)

G(n)

＜1時，10×(

4

5

) 2n+3＜1，即(2n+3)lg(

4

5

)＜-1，亦即2n+3＞

-1

3lg2-1

，∴n＞

1

2-6lg2

-

3

2

≈3.7．                        …（11分）
由于n為正整數，因此當1≤n≤3時，G（n）單調遞增；當n≥4時，G（n）單調遞減．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．                      …（12分）
又G(3)=102×(

4

5

)16=100×0.0281=2.81，G(4)=103×(

4

5

)25=1000×0.0038=3.8，
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4．                            …（14分）

點評：本題考查新定義，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．