Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,已知a₁=1,S_n+1=2S_n+n+1(n∈N^*),則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=　　　.

Answer 1

2ⁿ-1

∵S_n+1=2S_n+n+1,當(dāng)n≥2時(shí)S_n=2S_n-1+n,
兩式相減得:a_n+1=2a_n+1,
∴a_n+1+1=2(a_n+1),
即=2.
又S₂=2S₁+1+1,a₁=S₁=1,
∴a₂=3,∴=2,
∴{a_n+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
∴a_n+1=2ⁿ即a_n=2ⁿ-1(n∈N^*).
【方法技巧】含S_n,a_n問題的求解策略
當(dāng)已知含有S_n+1,S_n之間的等式時(shí),或者含有S_n,a_n的混合關(guān)系的等式時(shí),可以采用降級(jí)角標(biāo)或者升級(jí)角標(biāo)的方法再得出一個(gè)等式,兩個(gè)等式相減就把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式.