Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的圖象在處的切線過點，求的值；

（2）當時，函數在上沒有零點，求實數的取值范圍；

（3）當時，存在實數使得，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）先根據導數幾何意義得切線斜率，再根據兩點間斜率公式列等式，解得的值；（2）先求導數，根據a討論導數零點情況，再根據對應單調性確定函數值域，最后根據無零點確定最小值大于零或最大值小于零，解得結果，（3）先根據，解得，代入得，再轉化為一元函數：最后利用導數證明h(t)< 0成立.

詳解：（1）因為f ′(x)＝－a，所以k＝f ′(1)＝1－a，

又因為f(1)＝－a－b，所以切線方程為y＋a＋b＝(1－a)(x－1)，

因為過點(2，0)，所以a＋b=1－a，即2a＋b＝1.

（2）當b＝0時，f(x)＝lnx－ax，所以f ′(x)＝－a＝.

10若a≤0，則f ′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上遞增，所以f(x)＞f()＝－1－，

因為函數y＝f(x)在(，＋∞)上沒有零點，所以－1－≥0，即a≤－e；

20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝.

①當≤時，即a≥e時，f ′(x)＜0，f(x)在(，＋∞)上遞減，

所以f(x)＜f()＝－1－＜0，符合題意，所以a≥e；

②當＞時，即0＜a＜e時，若＜x＜，f ′(x)＜0，f(x)在(，)上遞增；

若x＞，f ′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上遞減，

所以f(x)在x＝處取得極大值，即為最大值，

要使函數y＝f(x)在(，＋∞)上沒有零點，

必須滿足f()＝ln－1＝－lna－1＜0，得a＞，所以＜a＜e.

綜上所述，實數a的取值范圍是a≤－e或a＞.

（3）不妨設0＜x1＜x2，

由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，

因為a＞0，所以.

又因為，f ′(x)在(0，＋∞)上遞減，且f ′()＝0，

故要證，只要證，

只要證，只要證，

只要證 （*），

令，記，

則，

所以h(t)在(1,+∞)上遞減，所以h(t)< h(1)=0，

所以（*）成立，所以原命題成立.