Question

已知矩陣A=

a k 0 1

（k≠0）的一個特征向量為α=

k -1

，A的逆矩陣A^-1對應的變換將點（3，1）變?yōu)辄c（1，1）．求實數(shù)a，k的值．

Answer 1

考點：逆變換與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：利用特征值與特征向量的定義，可求a；利用A的逆矩陣A^-1對應的變換將點（3，1）變?yōu)辄c（1，1），可求k的值．

解答：解：設特征向量為α=

k -1

，對應的特征值為λ，則

a k 0 1

k -1

=λ

k -1

，即

ak-k=λk λ=1.

因為k≠0，所以a=2． …（5分）
因為A^-1

3 1

=

1 1

，所以A

1 1

=

3 1

，即

2 k 0 1

1 1

=

3 1

，
所以2+k=3，解得k=1．
綜上，a=2，k=1．…（10分）

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎題．