Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）令，由，可得，利用分析法和放縮法的思想，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值證得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有即可.

（1）依題意，，，

令，即，解得，

故當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為，

（2）令，

由題意得，當(dāng)時(shí)，，則有，

下面證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，

由于時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，

故只需證明對(duì)任意，都有，

令，則，

所以在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以，則，

令，，則.

當(dāng)時(shí)，，，

所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以對(duì)任意，都有.

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.