Question

【題目】在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°

【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導(dǎo)出，從而平面，則，即，進(jìn)而平面，推導(dǎo)四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.

（2）以B為原點(diǎn)，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.

（1）∵是的中點(diǎn)，∴.

設(shè)的中點(diǎn)為，連接.

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.

易證：，，

∴即為二面角的平面角.

∴，而為的中點(diǎn).

易知，∴為等邊三角形，∴.①

∵，，，∴平面.

而，∴平面，∴，即.②

由①②，，∴平面.

∵分別為的中點(diǎn).

∴四邊形為平行四邊形.

∴，平面，又平面.

∴平面平面.

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).

則，，，，

顯然平面的法向量，

設(shè)平面的法向量為，，，

∴，∴.

，

由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.

∴平面與平面所成的二面角大小為45°.