Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面是菱形，且∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=1，AA₁=a，F為棱BB的中點，M為線段AC的中點．設=，=，=．試用向量法解下列問題：
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：直線MF⊥面A₁ACC₁；
（3）是否存在a，使平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相應的a 值，如果不存在，請說明理由．（提示：可設出兩面的交線）

Answer 1

【答案】分析：（1）由：||=||=1，||=a，，，，=，=（），
=+，=（），==2，由此能證明直線MF∥平面ABCD．
（2）由=（）=0，=（）（）=0，知MF⊥AA₁，MF⊥AC，AC和AA₁是面ABCD內的相交直線，由此能證明直線MF⊥面A₁ACC₁．
（3）設平面AFC₁與平面ABCD的交線為c，兩平面有一個公共點A，故A在直線c上；MF在面AFC₁內，直線MF∥平面ABCD，有MF∥直線c，由直線MF⊥面A₁ACC₁，直線AC和直線AC₁在平面A₁ACC₁內，知平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是∠C₁AC由此能推導出不存在這樣的a值，使平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是30°．
解答：（1）證明：||=||=1，
||=a，，
，（2分）
=，
=（），
=+，
=（），（3分）
==2，
DB在面ABCD內，MF在面ABCD外，
∴直線MF∥平面ABCD；（4分）
（2）證明：=（）=0，（5分）
=（）•（）=0，（6分）
∴MF⊥AA₁，MF⊥AC，AC和AA₁是面ABCD內的相交直線，
∴直線MF⊥面A₁ACC₁；（7分）
（3）解：設平面AFC₁與平面ABCD的交線為c，兩平面有一個公共點A，
∴A在直線c上；MF在面AFC₁內，直線MF∥平面ABCD，有MF∥直線c，
由2）知，直線MF⊥面A₁ACC₁，直線AC和直線AC₁在平面A₁ACC₁內，
∴MF⊥AC₁，MF⊥AC，因此，有AC₁⊥直線c，AC⊥直線c，
平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是∠C₁AC，（10分）
假設存在這樣的a，使∠C₁AC=30°，
則cos30°=cos，
=
=（12分）
整理，得方程：4a²-3a+9=0，
△=（-3）²-4×4×9=9-4×4×9＜0，方程無解，（13分）
因此不存在這樣的a值，
使平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是30°（14分）
點評：本題考查直線MF∥平面ABCD和直線MF⊥面A₁ACC₁的證明，探索a的值是否存在．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．