Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面是菱形，且∠DAB=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=1，AA₁=a，F為棱BB的中點，M為線段AC的中點．設

AB

=

e1

，

AD

=

e2

，

AA1

=

e3

．試用向量法解下列問題：
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：直線MF⊥面A₁ACC₁；
（3）是否存在a，使平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相應的a 值，如果不存在，請說明理由．（提示：可設出兩面的交線）

Answer 1

分析：（1）由：|

e1

|=|

e2

|=1，|

e3

|=a，

e 1

•

e2

=

1

2

，

e1

•

e3

=

e2

•

e3

=

1

2

a，

e1

e3

=

e2

e3

=

1

2

a，

AC1

=

e1

+

e2

+

e3

，

AM

=

1

2

（

e1

+

e2

+

e3

），

AF

=

AB

+

BF

=

AB

+

1

2

AA1

=

e1

+

1

2

e3

，

MF

=

AF

-

AM

=

1

2

（

e1

-

e2

），

DB

=

AB

-

AD

=

e1

-

e2

=2

MF

，由此能證明直線MF∥平面ABCD．
（2）由

MF

•

AA1

=（

e1

-

e2

）•

1

2

e3

=0，

MF

•

AC

=（

e1

-

e2

）（

e1

+

e2

+

e3

）•

1

2

=0，知MF⊥AA₁，MF⊥AC，AC和AA₁是面ABCD內的相交直線，由此能證明直線MF⊥面A₁ACC₁．
（3）設平面AFC₁與平面ABCD的交線為c，兩平面有一個公共點A，故A在直線c上；MF在面AFC₁內，直線MF∥平面ABCD，有MF∥直線c，由直線MF⊥面A₁ACC₁，直線AC和直線AC₁在平面A₁ACC₁內，知平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是∠C₁AC由此能推導出不存在這樣的a值，使平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是30°．

解答：（1）證明：|

e1

|=|

e2

|=1，
|

e3

|=a，

e 1

•

e2

=

1

2

，

e1

•

e3

=

e2

•

e3

=

1

2

a，（2分）

AC1

=

e1

+

e2

+

e3

，

AM

=

1

2

（

e1

+

e2

+

e3

），

AF

=

AB

+

BF

=

AB

+

1

2

AA1

=

e1

+

1

2

e3

，

MF

=

AF

-

AM

=

1

2

（

e1

-

e2

），（3分）

DB

=

AB

-

AD

=

e1

-

e2

=2

MF

，
DB在面ABCD內，MF在面ABCD外，
∴直線MF∥平面ABCD；（4分）
（2）證明：

MF

•

AA1

=（

e1

-

e2

）•

1

2

e3

=0，（5分）

MF

•

AC

=（

e1

-

e2

）•（

e1

+

e2

+

e3

）•

1

2

=0，（6分）
∴MF⊥AA₁，MF⊥AC，AC和AA₁是面ABCD內的相交直線，
∴直線MF⊥面A₁ACC₁；（7分）
（3）解：設平面AFC₁與平面ABCD的交線為c，兩平面有一個公共點A，
∴A在直線c上；MF在面AFC₁內，直線MF∥平面ABCD，有MF∥直線c，
由2）知，直線MF⊥面A₁ACC₁，直線AC和直線AC₁在平面A₁ACC₁內，
∴MF⊥AC₁，MF⊥AC，因此，有AC₁⊥直線c，AC⊥直線c，
平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角是∠C₁AC，（10分）
假設存在這樣的a，使∠C₁AC=30°，
則cos30°=cos＜

AC 1

，

AC

＞
=

AC1 •