Question

【題目】已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量＝(a，b)，＝(sin B，sin A)， ＝(b－2，a－2)．

(1)若∥，求證：△ABC為等腰三角形；

(2)若⊥，邊長c＝2，∠C＝，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】分析：（1）根據(jù)正弦定理和向量平行的條件，問題得以證明；
（2）根據(jù)向量垂直則數(shù)量積等于0，利用余弦定理，求出ab的積，然后利用三角形的面積公式，即可解得．

詳解：

(1)證明　∵∥，∴asin A＝bsin B，

即a·＝b· (其中R是△ABC外接圓的半徑)．

∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形．

(2)解　由⊥得·＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，

∴a＋b＝ab.

又c＝2，∠C＝，∴4＝a2＋b2－2abcos，即有

4＝(a＋b)2－3ab.

∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(ab＝－1舍去)．

因此S△ABC＝absin C＝×4×＝ .