Question

如圖，四邊形是的內接四邊形，的延長線與的延長線交于點，且.

（I）證明：；
（II）設不是的直徑，的中點為，且，證明：為等邊三角形.

Answer 1

（1）詳見解析;（2）詳見解析

試題分析：（1）根據題意可知A，B，C，D四點共圓，利用對角互補的四邊形有外接圓這個結論可得：，由已知得，故;（2）不妨設出BC的中點為N，連結MN，則由，由等腰三角形三線合一可得：，故O在直線MN上，又AD不是圓O的直徑，M為AD的中點，故，即，所以，故，又，故，由（1）知，，所以為等邊三角形.
試題解析：（1）由題設知A，B，C，D四點共圓，所以，
由已知得，故.
（2）設BC的中點為N，連結MN，則由知，
故O在直線MN上.
又AD不是圓O的直徑，M為AD的中點，故，
即.
所以，故，
又，故.
由（1）知，，所以為等邊三角形.