Question

【題目】如圖：四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= ，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（2）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

Answer 1

【答案】
（1）解：分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間坐標系

則可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0， ， ），D（ ，0，0）

設BE=x，則E（x，1，0）

∴ =（x，1，﹣1）

得 =x0+1× +（﹣1）× =0

可得 ，即AF⊥PE成立

（2）解：求出 =（ ，0，﹣1），設平面PDE的一個法向量為

則 ，得

∵PA與平面PDE所成角的大小為45°， =（0，0，1）

∴sin45°= = ，得 =

解之得x= 或x=

∵BE=x ，

∴BE= ，即當BE等于 時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

【解析】（1）建立如圖所示空間坐標系，得出P、B、F、D的坐標．設BE=x得E（x，1，0），算出 的坐標，得出 ，由此可得無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；（2）利用垂直向量數量積為零的方法，算出 是平面PDE的一個法向量，結合 =（0，0，1）與題中PA與平面PDE所成角，利用空間向量夾角公式建立關于x的方程，解出x的值即可得到PA與平面PDE所成角的大小為45°時，BE的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行，以及對用空間向量求直線與平面的夾角的理解，了解設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：．