Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的終邊與單位圓交于點P（

3

5

，

4

5

），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用三角函數的定義，求出α的正弦函數值、余弦函數值，直接代入f（α）化簡即可．
（Ⅱ）將f（x）=2

3

sin2x-2sin²x化為（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求得其周期；由x∈[-

π

6

，

π

3

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數的單調性可求f（x）在區間x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為角α的終邊與單位圓交于點P（

3

5

，

4

5

），
由三角函數的定義可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
所以f（α）=2

3

sinαcosα-2sin²α
=2

3

×

3

5

×

4

5

-2×(

4

5

)2
=

24 3 -32

25

．
（Ⅱ）∵f（x）=

3

sin2x+1-2sin²x-1=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+

π

6

）-1
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
于是，當2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，f（x）取得最小值-2；
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值1．
所以函數的值域為[-2，1]．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，三角函數的定義，著重考查降冪公式與輔助角公式的應用及正弦函數的函數的單調性質，屬于中檔題．