Question

【題目】已知f（x）=logax，g（x）=loga（2x+t﹣2）2 ， （a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當t=4，x∈[1，2]時F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值為2，求a的值；
（2）當0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數t的取值范圍．
（備注：函數y=x+ 在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：f（x）=logax，g（x）=loga（2x+t﹣2）2，（a＞0，a≠1，t∈R）．

那么：F（x）=g（x）﹣f（x）=loga（2x+t﹣2）2﹣logax=loga ，

當t=4時，F（x）= ，x∈[1，2]，

設h（x）= = ，x∈[1，2]，則：F（x）=logah（x）．

由于y=x+ 在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增，

∴h（x）在x∈[1，2]上是增函數．

∴h（x）的最大值為h（2）max=18，

h（x）的最小值為h（1）min=16，

當0＜a＜1時，F（x）是減函數，F（x）的最小值為F（x）min=loga18=2，

解得：a= （不符合）

當a＞1時，F（x）是增函數，F（x）的最小值為F（x）min=loga16=2，

解得：a=4，滿足題意．

因此a的值為4

（2）解：當0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，

那么：logax≥loga（2x+t﹣2）2恒成立，即 在x∈[1，2]時恒成立

∴t≥﹣2x +2．

令u（x）=﹣2x +2=﹣2（ ）2+ ，

∵x∈[1，2]，

∴

當 時，u（x）取得最大值為u（x）max=u（1）=1

故得實數t的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）化簡成函數，可得函數是對數的復合函數，對底數進行討論，利用對數函數的性質即可求解．（2）要使f（x）≥g（x）恒成立，利用對數函數的單調性，分離參數，可求實數t的取值范圍．