Question

(本小題滿分12分)
已知定點，動點滿足： .
（I）求動點的軌跡的方程；
（II）過點的直線與軌跡交于兩點,試問在軸上是否存在定點,使得 為常數.若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）軌跡的方程為
（II）當直線與x軸垂直時，,當時.
故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數.

解：（Ⅰ）   
（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）
所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為的雙曲線
所以，軌跡G的方程為 。     
（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使為常數.
①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為
 
由題意知，
設，則， 
于是
∴
＝     
＝


要是使得 為常數，當且僅當，此時 
②當直線與x軸垂直時，,當時.
故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數.