Question

動點的坐標在其運動過程中
總滿足關系式.
（1）點的軌跡是什么曲線？請寫出它的標準方程；
（2）已知直線與的軌跡交于A、B兩點，且OA⊥OB(O為原點)，求 的值.

Answer 1

（1）（6分）橢圓：
（2） 

分析：（1）根據，可得（x，y）與(-，0)，(，0)的距離之和等于常數4，由橢圓的定義可知點M的軌跡，從而可得橢圓的方程；
（2）直線y=x+t與M的軌跡方程聯立，消去y，利用韋達定理及OA⊥OB，即可求得t的值。
解答：
（1）∵
∴（x，y）與(-，0)，(，0)的距離之和等于常數4，
由橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且a=2，c=，
∴b=1，故橢圓的方程為：x²/4+y²=1；
（2）直線y=x+t與M的軌跡方程聯立，消去y可得5x²+8tx+4t²-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-8t/5，x₁x₂=（4t²-4）/5，
∴y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=-4/5+1/5t²
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=（4t²-4）/5-4/5+1/5t²=0
∴
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，求得橢圓的方程，正確運用韋達定理是關鍵。