Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作直線與直線交與點(diǎn)，且.求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件直接求出的值即可；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去得到，由判別式等于整理得到，代入求得的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出直線方程為，聯(lián)立方程組，求得，即說(shuō)明點(diǎn)在定直線上．

試題解析：（1）由橢圓的離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可知，

所以，∴橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由，得方程（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

由直線與橢圓相切，得，且整理得；

，將代入（*）式，得，

即，解得，∴，．．．．．．．．．．．．．8分

又，①當(dāng)即，∴②，

②當(dāng)時(shí)，∴，則，．．．．．．．．．．．9分

∴直線方程為，

聯(lián)立方程組，得，

∴點(diǎn)在定直線上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分