Question

【題目】已知三棱錐M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O為AC的中點，點N在邊BC上，且.

（1）證明：BO平面AMC；

（2）求二面角N-AM-C的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）先證明，即可證明BO平面AMC；

（2）因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系如圖所示．求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結果.

（1）如圖所示：連接，

在中：，則，.

在中：，為的中點，則，且

在中：，滿足：

根據勾股定理逆定理得到 相交于，

故平面.

（2）因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系如圖所示．因為,，

則，

由所以，,

設平面的法向量為，則

令，得，

因為平面，所以為平面的法向量，

所以與所成角的余弦為．

所以二面角的正弦值為