Question

【題目】如圖，設拋物線的焦點為F，點P是半橢圓上的一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點M、N．

（1）證明：；

（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）設點P的坐標為，由直線PA與橢圓相切，得，要證明，只需證明，即證即可；

（2），，，由（1）易得，代入化簡即可.

（1）由題意知，直線PA的斜率存在且不為0，設點P的坐標為，

直線PA方程為．

令，可知點M的坐標為．

由，消去x得．

因為直線與拋物線只有一個交點，

故，即．

因為點F的坐標為，

故，．

則．

因此，亦即．

（2）設直線PB的方程為．

由（1）可知，n滿足方程．

故m，n是關于t的方程的兩個不同的實根．

所以．

由（1）可知：，同理可得．

故，．

則，

因為，

所以．

因此，的取值范圍是．

【點晴】

本題考查直線與橢圓的位置關系，計算量較大，考查學生的運算求解能力、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.