Question

經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與價格（元）為時間t（天）的函數，且銷售量近似滿足
g（t）=80-2t（件），價格近似滿足f（t）=20-|t-10|（元）．
（1）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；
（2）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）日銷售額=銷售量×價格，根據條件寫成分段函數即可；
（2）分別求出函數在各段的最大值、最小值，取其中最小者為最小值，最大者為最大值；

解答：解：（1）y=g（t）•f（t）=（80-2t）•（20-|t-10|）
=

(80-2t)(10+t)，0≤t＜10 (80-2t)(30-t)，10≤t≤20

；
（2）當0≤t＜10時，y=-2t²+60t+800在[0，10）上單調遞增，y的取值范圍是[800，1200）；
當10≤t≤20時，y=2t²-140t+2400在[10，20]上單調遞減，y的取值范圍是[1200，400]，
在t=20時，y取得最小值為400．t=10時y取得最大值1200，
故第10天，日銷售額y取得最大值為1200元；
第20天，日銷售額y取得最小值為400元．

點評：本題考查函數在實際問題中的應用，考查分段函數最值的求法，考查學生解決實際問題的能力，屬中檔題．