Question

經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數，且銷售量近似滿足g（t）=80-2t（件），價格近似滿足于（元）．
（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售量y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；
（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，由價格乘以銷售量可得該種商品的日銷售量y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函數的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，由價格乘以銷售量可得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知①當0≤t≤10時y=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225
函數圖象開口向下，對稱軸為t=5，該函數在t∈[0，5]遞增，在t∈（5，10]遞減
∴y_max=1225（當t=5時取得），y_min=1200（當t=0或10時取得）
②當10＜t≤20時y=t²-90t+2000=（t-45）²-25
圖象開口向上，對稱軸為t=45，該函數在在t∈（10，20]遞減，t=10時，y=1200，y_min=600（當t=20時取得）
由①②知y_max=1225（當t=5時取得），y_min=600（當t=20時取得）
點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是確定函數的解析式．