Question

過點P(1，4)引一條直線，使它在兩條坐標軸上的截距為正值，且它們的和最小，求這條直線的方程．

Answer 1

2x＋y－6＝0

(解法1)設所求的直線方程為y－4＝k(x－1)．顯見，上述直線在x軸、y軸上的截距分別為1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直線在兩坐標軸上的截距之和為S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，當且僅當－k＝－，即k＝－2時，S有最小值9.故所求直線方程為y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.
(解法2)設所求的直線方程為＝1(a>0，b>0)．
據題設有＝1，①　令S＝a＋b.②
①×②，有S＝(a＋b)＝5＋≥5＋4＝9.當且僅當時，即2a＝b，且＝1，也即a＝3，b＝6時，取等號．
故所求的直線方程為＝1，即2x＋y－6＝0.