Question

（2013•懷化二模）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（I）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設知AO=1，CO=

3

，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能夠證明AO⊥平面BCD．
（II）取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．
（III）設點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，故S△ACD=

1

2

×

2

×

4-( 2 2 )2

=

7

2

，由AO=1，知S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，由此能求出點E到平面ACD的距離．

解答：（I）證明：連接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由題設知AO=1，CO=

3

，AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，
知ME∥AB，OE∥DC，
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．
在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，…（6分）
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴OM=

1

2

AC=1，…（7分）
∴cos∠OEM=

1+1/2-1

2×1× 2 /2

=

2

4

，
∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為

2

4

…（8分）
（III）解：設點E到平面ACD的距離為h．

∵VE-ACD=VA-CDE， ∴ 1 3 h．S△ACD= 1 3 ．AO．S△CDE.

…（9分）
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S△ACD=

1

2

×

2

×

4-( 2 2 )2

=

7

2

，
∵AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

AO•S△CDE

S△ACD

=

1× 3 2

7 2

=

21

7

，
∴點E到平面ACD的距離為

21

7

．

點評：本題考查點、線、面間的距離的計算，考查空間想象力和等價轉化能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題．