Question

【題目】如圖，已知三棱錐中， ， ， 為中點， 為中點，且為正三角形．

（1）求證： 平面；

（2）若， ，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）根據為等邊三角形和為中點得到，而為的中位線，故而，所以，結合得到平面，故，而，所以平面．（2）棱錐的體積可以轉化為棱錐的體積，由（1）可以得到到平面的距離為且，而為等腰三角形且，從而到邊的距離為，故可以的面積，從而利用棱錐的體積公式計算即可．

解析：（1）證明：因為為正三角形，且為中點，所以，又為的中點， 為中點，所以．故，又， ，故平面， 平面，所以．又因為， ，所以平面．

（2）解：由題設有， ， ，在直角三角形中， 為斜邊的中點，故，在直角三角形中， ，又三角形為等腰三角形，腰長，底邊，所以邊上的高為，所以．