Question

【題目】如圖，O為總信號源點，A，B，C是三個居民區，已知A，B都在O的正東方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5 km．
（1）求居民區A與C的距離；
（2）現要經過點O鋪設一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設三條最短分光纜連接到總光纜EF．假設鋪設每條分光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數為m（m為常數）．設∠AOE=θ（0≤θ＜π），鋪設三條分光纜的總費用為w（元）． ①求w關于θ的函數表達式；
②求w的最小值及此時tanθ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以點O位坐標原點，OA為x軸建立直角坐標系，則A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），

∴AC= =5 ；

（2）解：①當直線l的斜率存在時，設l：y=kx，k=tanθ，

則w=m[ + + ]=m ；

直線l的斜率不存在時，w=m（100+400+25）=525m，

綜上，w=

②直線l的斜率不存在時，w=m（100+400+25）=525m；

當直線l的斜率存在時，w=m

令t=k﹣10，則t=0時，w=525m；

t≠0時，w=525m+m

∵t+ ≤﹣2 ，或t+ ≥2 ，

∴w的最小值為525m+m =（275﹣25 ）m，

此時，t=﹣ ，tanθ=k=10﹣ ．

【解析】（1）以點O位坐標原點，OA為x軸建立直角坐標系，求出A，C的坐標，即可求居民區A與C的距離；（2）①分類討論，求出鋪設三條分光纜的總費用，即可求w關于θ的函數表達式；②換元，利用基本不等式，可求w的最小值及此時tanθ的值．